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非线性控制系统的 Koopman 双线性化

准大一 · 自动化 × 非线性控制 × Koopman 算子 —— 几何控制理论精读材料
原文：arXiv:2211.07112 2022年11月14日发布 arXiv 预印本（math.OC / eess.SY / math.DS） Koopman 算子 × 双线性化 × 可控性 附英文摘要朗读音频

一、论文档案

英文标题Koopman Bilinearization of Nonlinear Control Systems
中文标题非线性控制系统的 Koopman 双线性化
作者张伟, 李思训（机构未在素材中标注）
发布时间2022年11月14日（v1）｜分类：math.OC（优化与控制）、eess.SY（系统与控制）、math.DS（动力系统）
原文链接arxiv.org/abs/2211.07112
一句话概括把非线性控制系统的 Koopman 算子动力学严格推导成双线性系统，建立系统性的 Koopman 控制框架。
💡 为什么选这篇给你：① Koopman 算子是当下「数据驱动控制」最火的理论工具之一，把非线性系统「抬升」到无限维线性空间来分析；② 本文是少有的「把 Koopman 严格用于带输入的控制系统」的论文——以前大多只研究无外力系统；③ 数学故事完整：算子微分方程 → 双线性化 → 可控性刻画 → 反馈线性化应用，层层递进，适合训练数学阅读能力。

二、核心术语表（先扫一遍再读正文）

英文术语中文大白话解释
Koopman operatorKoopman 算子1931 年由数学家 Koopman 引入的线性算子：把非线性动力系统「抬升」到无限维函数空间上变成线性演化。
control-affine system控制仿射系统形如 ẋ = f(x) + g(x)u 的系统：对控制输入 u 是线性的，对状态 x 可以是非线性的，覆盖绝大多数实际系统。
bilinear system双线性系统对状态和控制都线性、但对二者乘积（耦合项）非线性的系统，如 ẋ = Ax + uBx。
bilinearization双线性化把一个非线性系统等价地表示成（无限维）双线性系统的过程，本文的核心贡献。
infinite-dimensional Lie group无限维李群兼具群结构和微分流形结构的数学对象；本文证明 Koopman 系统在无限维李群上演化。
controllability可控性系统能否在有限时间内被控制输入从任意初态驱动到任意目标状态的性质。
de Rham differential operatorde Rham 微分算子微分几何中外微分（d）的推广；本文用它来刻画控制仿射系统的可控性。
Lie algebra rank condition (LARC)李代数秩条件经典可控性判据：由系统向量场生成的李代数张满状态空间即可控；本文把它推广到无限维系统。
feedback linearization反馈线性化通过状态反馈把非线性系统变成线性系统的经典方法；通常要求系统可控。
semigroup theory半群理论泛函分析中研究算子演化方程（如偏微分方程解算子）的数学工具，本文用它推导 Koopman 系统方程。
lifting property抬升性质Koopman 算子的核心性质：用无限维向量空间上的线性变换来建模有限维流形上的非线性动力学。
Gelfand dualityGelfand 对偶本文揭示的控制仿射系统与双线性 Koopman 系统之间的对偶关系，为可控性分析带来便利。
ergodicity遍历性动力系统的一种统计性质；本文强调其方法不需要遍历性假设，与多数现有 Koopman 研究不同。

三、摘要中英对照（精读核心）

🎧 音频在文末，可先听一遍原文再读；每个英文句都配了逐句翻译。

摘要 Abstract

EN · 原文
Koopman operators, since introduced by the French-born American mathematician Bernard Koopman in 1931, have been employed as a powerful tool for research in various scientific domains, such as ergodic theory, probability theory, geometry, and topology.
CN · 翻译
Koopman 算子自 1931 年由法裔美国数学家 Bernard Koopman 提出以来，已成为众多科学领域研究的有力工具，如遍历理论、概率论、几何与拓扑。
EN · 原文
The current use of Koopman operators mainly focuses on the characterization of spectral properties of ergodic dynamical systems.
CN · 翻译
目前 Koopman 算子的使用主要集中于刻画遍历动力系统的谱性质。
EN · 原文
In this paper, we step forward from unforced dynamical systems to control systems and establish a systematic Koopman control framework.
CN · 翻译
本文从无外力动力系统迈步走向控制系统，建立了一个系统性的 Koopman 控制框架。
EN · 原文
Specifically, we rigorously derive a differential equation system governing the dynamics of the Koopman operator associated with a control system, and show that the resulting system is a bilinear system evolving on an infinite-dimensional Lie group, which directly leads to a global bilinearization of control-affine systems.
CN · 翻译
具体来说，我们严格推导了控制系统所关联 Koopman 算子动力学所满足的微分方程组，并证明所得系统是一个在无限维李群上演化的双线性系统，从而直接给出控制仿射系统的全局双线性化。
EN · 原文
Then, by integrating techniques in geometric control theory with infinite-dimensional differential geometry, this further offers a two-fold benefit to controllability analysis: the characterization of controllability for control-affine systems in terms of de Rham differential operators and the extension of the Lie algebra rank condition to infinite-dimensional systems.
CN · 翻译
随后，通过把几何控制理论与无限维微分几何技术相结合，这为可控性分析带来双重收益：用 de Rham 微分算子刻画控制仿射系统的可控性，以及把李代数秩条件推广到无限维系统。
EN · 原文
To demonstrate the applicability, we further adopt the established framework to develop the Koopman feedback linearization technique, which, as one of the advantages, waives the controllability requirement for the systems to be linearized by using the classical feedback linearization technique.
CN · 翻译
为展示适用性，我们进一步利用所建立的框架发展 Koopman 反馈线性化技术；其优点之一是：不再要求系统可控——而经典反馈线性化技术恰恰需要这一要求。
EN · 原文
In addition, it is worth mentioning that a distinctive feature of this work is the maximum utilization of the intrinsic algebraic and geometric properties of Koopman operators, instead of spectral methods and the ergodicity assumption of systems, which further demonstrate a significant advantage of our work and a substantial difference between the presented and existing research into Koopman operators.
CN · 翻译
此外值得一提的是，本工作的一个显著特点是最大限度利用 Koopman 算子内在的代数与几何性质，而非谱方法和系统的遍历性假设——这进一步彰显了我们工作的显著优势，以及与现有 Koopman 算子研究之间的实质性差异。

关键词 Keywords：Koopman Operator Koopman 算子 ｜ Bilinearization 双线性化 ｜ Control-Affine System 控制仿射系统 ｜ Controllability 可控性 ｜ Lie Group 李群 ｜ Feedback Linearization 反馈线性化

四、引言精选（为什么这个问题重要）

① Koopman 算子：从 1931 年到数据驱动的复兴

EN · 原文
Koopman operators, named after the French-born American mathematician Bernard Osgood Koopman, was originally introduced in 1931 for the purpose of adopting Hilbert space methods, state-of-the-art techniques just coming into prominence at that time, to investigate spectral properties of Hamiltonian systems [1]. Since then, the potential of Koopman operators has started to be widely recognized and extensively explored in numerous scientific domains. First and foremost, Koopman operators lie in the repertoire of the most powerful tools in ergodic theory, especially for the characterization of ergodicity, recurrence, mixing, and topological entropy of (measure-preserving) dynamical systems [2, 3, 4].
CN · 翻译
Koopman 算子以法裔美国数学家 Bernard Osgood Koopman 的名字命名，1931 年提出之初是为了用当时方兴未艾的希尔伯特空间方法研究哈密顿系统的谱性质。此后，Koopman 算子的潜力被广泛认识并深入探索：它首先是遍历理论中最有力的工具之一，尤其用于刻画（保测）动力系统的遍历性、回归性、混合性与拓扑熵。

② 空白：Koopman 在「带输入的控制系统」中仍是未开垦之地

EN · 原文
Although Koopman operators have demonstrated their capabilities in the study of (unforced) dynamical systems, their roles in control theory for analyzing and manipulating dynamical systems with external inputs still largely remain as an unexplored avenue. To fill in this gap, in this paper, we rigorously establish a systematic Koopman control framework, particularly for tackling control tasks involving nonlinear systems, which in turn simultaneously expands the repertoire of techniques in geometric control theory and the scope of Koopman operator theory.
CN · 翻译
尽管 Koopman 算子在（无外力）动力系统研究中展现了强大能力，但它在控制理论中用于分析与操控带外部输入系统的角色，仍大体是一条未被探索的路径。为填补这一空白，本文严谨地建立了系统性的 Koopman 控制框架，尤其面向含非线性系统的控制任务——这同时扩展了几何控制技术的工具箱与Koopman 算子理论的版图。

③ 方法骨架：算子微分方程 → Koopman 双线性化 → de Rham 算子

EN · 原文
In particular, we start from the rigorous derivation of operator differential equations governing the dynamics of the Koopman operators, referred to as Koopman systems, associated with nonlinear systems by leveraging the theory of semigroups in functional analysis. Built upon this and inspired by the lifting property of Koopman operators that model the dynamics of nonlinear systems on finite-dimensional manifolds by linear transformations on infinite-dimensional vector spaces, we define the notation of Koopman bilinearization for control-affine systems, which then leads to the characterization of controllability for such systems in terms of de Rham differential operators.
CN · 翻译
具体而言，我们借助泛函分析中的半群理论，严格推导了与非线性系统关联的 Koopman 算子动力学所满足的算子微分方程（称 Koopman 系统）。在此基础之上，受 Koopman 算子「抬升性质」的启发（用无限维向量空间上的线性变换建模有限维流形上的非线性动力学），我们定义了控制仿射系统的 Koopman 双线性化，进而用 de Rham 微分算子刻画这类系统的可控性。

④ 独特之处：不依赖谱方法与遍历性假设

EN · 原文
It is worth mentioning that, in this work, the leverage of Koopman operators does not require any measure-preserving property or ergodicity of the corresponding dynamical systems, and the development of the Koopman control framework does not involve spectral methods, either. This unique feature not only highlights the major advantage of our approach but also indicates a substantial difference between the presented and existing works on Koopman operators. In addition, owing to the infinite-dimensional nature of Koopman systems and their intimacy with finite-dimensional systems, this work further sheds light on a general framework of analysis and control of infinite-dimensional systems by using finite-dimensional methods.
CN · 翻译
值得一提的是，本工作利用 Koopman 算子不要求相应动力系统具有任何保测性或遍历性，建立 Koopman 控制框架也不涉及谱方法。这一独特之处既凸显了我们方法的主要优势，也表明本文与现有 Koopman 算子研究之间的实质性差异。此外，由于 Koopman 系统的无限维本质及其与有限维系统的密切联系，本工作还为「用有限维方法分析和控制无限维系统」提供了通用框架的启示。
💡 这是全文最有味道的一句："We step forward from unforced dynamical systems to control systems and establish a systematic Koopman control framework."——Koopman 算子火了十年，绝大多数工作都在「无外力系统」里打转；本文的关键一步是引入控制输入，让理论真正能用于「设计控制器」。理论工作者迈出这一步，应用研究者才能跟上。

五、方法要点（4 个要点）

EN · 原文
1. Koopman 系统的严格推导。 We start from the rigorous derivation of operator differential equations governing the dynamics of the Koopman operators, referred to as Koopman systems, associated with nonlinear systems by leveraging the theory of semigroups in functional analysis.
CN · 翻译
1. Koopman 系统的严格推导。借助泛函分析半群理论，严格推导非线性系统关联 Koopman 算子动力学所满足的算子微分方程组——这是整个框架的数学地基。
EN · 原文
2. 控制仿射系统的全局双线性化。 We define the notation of Koopman bilinearization for control-affine systems, which then leads to the characterization of controllability for such systems in terms of de Rham differential operators.
CN · 翻译
2. 控制仿射系统的全局双线性化。定义控制仿射系统的 Koopman 双线性化，并由此用 de Rham 微分算子刻画其可控性。
EN · 原文
3. 无限维李群上的可控性与 LARC 推广。 We also show that the resulting bilinear Koopman systems evolve on some infinite-dimensional Lie groups, and then investigate their controllability properties by integrating techniques in geometric control theory and infinite-dimensional differential geometry. In particular, this gives rise to an extension of the Lie algebra rank condition (LARC) to systems defined on infinite-dimensional Lie groups.
CN · 翻译
3. 无限维李群上的可控性与 LARC 推广。证明所得双线性 Koopman 系统在无限维李群上演化，并融合几何控制理论与无限维微分几何研究其可控性，由此把李代数秩条件（LARC）推广到无限维李群上的系统。
EN · 原文
4. Koopman 反馈线性化。 The established Koopman control framework is then adopted in the development of the Koopman feedback linearization technique, which not only demonstrates the applicability of this Koopman control framework but also carries out an extension of the classical feedback linearization technique, e.g., the controllability requirement for the systems to be linearized by using the classical feedback linearization technique.
CN · 翻译
4. Koopman 反馈线性化。将所建立的框架用于发展 Koopman 反馈线性化技术：既展示了框架的适用性，又拓展了经典反馈线性化技术——例如免除了经典方法对系统可控性的要求。

六、结论中英对照

EN · 原文
In this paper, we develop a Koopman control framework for analyzing control systems by using Koopman operators. Based on the detailed investigation into the algebraic and analytical properties of Koopman operators, instead of spectral methods and ergodicity assumptions, we rigorously derive the infinite-dimensional differential equation system governing the dynamics of the Koopman operator, referred to as the Koopman system, associated with a control system. Especially, for a control-affine system, the associated Koopman system gives rise to a global bilinearizaton of the system.
CN · 翻译
本文建立了一个用 Koopman 算子分析控制系统的 Koopman 控制框架。基于对 Koopman 算子代数与分析性质的细致研究——而非谱方法与遍历性假设——我们严格推导了控制系统关联 Koopman 算子动力学所满足的无限维微分方程组（称 Koopman 系统）。特别是，对控制仿射系统而言，其关联的 Koopman 系统给出了系统的全局双线性化。
EN · 原文
In addition, we further reveal the Gelfand duality between control-affine and bilinear Koopman systems, which greatly benefits controllability analysis of these systems. In part, it leads to the characterization of controllability for control-affine systems in terms of de Rham differenal operators. On the other hand, by leveraging techniques in infinite-dimensional geometry, we show that bilinear Koopman systems are defined on infinite-dimensional Lie groups and carry out an extension of LARC to such infinite-dimensional systems.
CN · 翻译
此外，我们进一步揭示了控制仿射系统与双线性 Koopman 系统之间的 Gelfand 对偶，这极大地便利了这些系统的可控性分析：一方面给出用 de Rham 微分算子对控制仿射系统可控性的刻画；另一方面，借助无限维几何技术，证明双线性 Koopman 系统定义在无限维李群上，并将 LARC 推广到这类无限维系统。
EN · 原文
The developed framework is then adopted in the context of feedback linearization, with the emphasis on the localization nature of Koopman systems. As a consequence, the scope of the classical feedback linearization technique is extended by including uncontrollable systems.
CN · 翻译
随后，所建立的框架被用于反馈线性化场景，并强调 Koopman 系统的局部化本质。其结果是，经典反馈线性化技术的适用范围得以扩展，把不可控系统也纳入其中。
EN · 原文
This work not only greatly expands the repertoire of tools in geometric control theory, but also sheds light on novel finite-dimensional approaches to the study of infinite-control dimensional control systems, through the bridge of the Gelfrand duality between finite-dimensional systems and the associated infinite-dimensional Koopman systems.
CN · 翻译
这项工作不仅极大地扩充了几何控制理论的工具库，还通过有限维系统与其关联无限维 Koopman 系统之间的 Gelfand 对偶之桥，为研究无限维控制系统提供了新颖的有限维方法启示。

七、编者解读：这篇论文到底讲了什么（大白话版）

  1. 问题：非线性系统难分析——没有统一的理论工具。Koopman 算子能把非线性系统「抬升」成线性系统，但以往只用于无外力的系统；带控制输入的系统（现实中几乎全是）一直没人系统研究。
  2. 做法：作者用泛函分析的半群理论，严格推导出「控制系统关联的 Koopman 算子」自身随时间的演化方程（Koopman 系统），并证明：对控制仿射系统，这个 Koopman 系统是一个双线性系统，在无限维李群上演化——这就是「全局双线性化」。
  3. 结果：可控性分析收获两件武器——用 de Rham 微分算子刻画可控性（几何视角）、把经典李代数秩条件（LARC）推广到无限维系统（代数视角）；还发展了 Koopman 反馈线性化，连「不可控系统」也能线性化。
  4. 最值钱的观点：研究 Koopman 算子可以完全绕开「谱方法 + 遍历性假设」这两条老路，纯靠代数与几何性质就能建立理论——用「结构」而不是「统计」来理解非线性系统。而且无限维与有限维之间有一座 Gelfand 对偶之桥，无限维问题可以用有限维方法处理。
  5. 工程意义：Koopman 双线性化是数据驱动控制（EDMD、Koopman MPC）的理论基石——现实中大量用「升维到线性再控制」的做法，本文给这类做法补上了严格的数学依据。
🎯 对保研的启示：这篇论文展示了「把成熟工具推向新领地」的科研范式——Koopman 算子不是新概念（1931 年就有了），但作者找到了新领地（控制系统），并用严格的数学推导占领它。复试时若能讲出「旧工具 + 新问题 + 严格推导」的方法论，比罗列模型名词更能体现科研潜力。

八、给准大一的阅读路线图 & 延伸方向

📖 怎么读这篇论文（三遍法）

  1. 第一遍（10 分钟）：只读摘要和术语表，回答三个问题——做什么？怎么做的？有什么用？公式全部跳过。
  2. 第二遍（20 分钟）：读引言 + 结论，重点体会「为什么从无外力系统走向控制系统是重要一步」以及「不依赖谱方法的独特之处」。
  3. 第三遍（30 分钟）：细读方法文字部分（Koopman 系统、双线性化、LARC 推广、反馈线性化），跳过所有定理证明，不懂的术语回查术语表。

🚀 这个方向你能延伸做什么

九、英文摘要朗读（练听力用）

先盲听一遍→再看对照稿→再听一遍。目标是听出关键数字（1931）和术语（Koopman operator、bilinearization、Lie group、de Rham、feedback linearization）。